吴国平，中考临近，探究可能的平行四边形的形状，F分别在AD

矩形作为一种特殊的平行四边形，不仅是重要的几何学习内容，自然也是中考数学的热点之一。矩形通过变化，可以转变成正方形，这种就相当于是一种桥梁作用，可以“变出”很多灵活的题型，像其中与矩形有关的折叠类题型。

纵观全国各省市中考数学试卷，我们对这些中考试题进行纵向和横向的研究，矩形有关的折叠试题已经成为命题的热点。此类的题型涉及知识面较广、灵活性强、解法多样、题型丰富，因而大多数学生都会感到一定的难度。

从折叠或翻转的本质上来讲，其实就是一类轴对称问题，掌握折痕是对称轴，两个对称点的连线被折痕垂直平分这一关键，那么解这类问题时就不会感到困难了。因此，解折叠问题关键是抓住对称与全等两个关系，问题都可以解决。

考查图形折叠，一定要弄清楚折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等、矩形的性质、全等三角形的判定及勾股定理的应用。

另外，解决矩形有关的折叠类问题的难点在于由动点所导致图形的不确定性和解的不唯一性，因此解决的关键在于根据动点的运动轨迹，分析确定动点位置，从而画出符合要求的图形，达到化动为静的目的。

解决问题的思路大致可分为两步：

第一步是画图，分析动点运动轨迹，确定动点位置。

第二步是识图，把复杂图形分解为基本图形的组合并利用相关知识解决问题。

如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0）B点坐标是（3，4）矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．

1求G点坐标。

2求直线EF解析式。

3点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点分析：

一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

题干分析：

1根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。

2由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。

3分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状：

若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF。

②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，仿照与①相同的办法。

③FG为平行四边形的对角线，过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C。

矩形折痕问题在中考中之所以频频出现，是因为这类创新问题反映了折叠纸片问题的灵活性、综合性和实践性，体现了新课标的理念要求和精神实质，因此建议大家在复习这类问题时，不妨亲自动手操作一番，从而从中可得知解这类问题的精华。

解这类问题的关键是掌握折叠就是对称，即在折痕问题中折痕是对称轴，在折叠中，重合部分是成轴对称的图形，折叠也是全等，即重合部分的图形是全等的，因而可找到对应的线段相等，对应角相等的关系，因此折叠就是对称，折叠就是全等是解决此类问题的关键。

如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．

1如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形。

2如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点。

3如图2，在2的条件下，求折痕FG的长．

考点分析：

翻折变换（折叠问题）折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

题干分析：

1根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而

判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。

2连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。

3根据1可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求出FO，从而可得出FG的长度。

折叠本质上是轴对称，要顺利解决矩形折叠问题，首先要搞清折叠前后变与不变的量，特别是图形折叠前后图形的形状不变，利用轴对称性，可以为相等的角，相等的线段。

其次能善于把要求的边、已知的边、能表示的边集中在某一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解，进一步培养学生的想象力和创造力。在解折叠问题时，还要结合勾股定理，相似三角形等内容，如果同学们都掌握了这些注意点，那么今后解折叠问题就不会束手无策了。

矩形以其丰富的特性已经成为中考数学的命题热点，尤其与折叠的结合，形式新颖，结构独特，蕴含着丰富的数学知识和思想，让矩形变得更加重要，此类题型对培养学生的识图能力和灵活运用数学知识解决问题的能力都有非常重要的作用。

本文相关词条概念解析：

折叠

折叠，是指把物体的一部分折过来与另一部分挨在一起。

平行四边形

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次名称。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点，否则是错误的。